ET17
XVII ENCUENTRO DE TOPOLOGÍA, ZARAGOZA 2010

Ponentes y conferencias

Maria Alberich (UPC)
Gérmenes polares e invariantes de singularidades de curvas planas
Presentación

Juan Carlos Candeal (UZ)
El papel de la topología en la teoría de la decisión
Presentación

Antonio Costa (UNED)
Simetrías de superficies
Presentación

Javier Fernández de Bobadilla (ICMAT, CSIC)
Tipos de homotopía de fibras de Milnor

Marta Macho (EHU)
Aspectos no conmutativos de espacios de órbitas
Presentación

Joan Porti (UAB)
Torsiones de Reidemeister
Presentación



Gérmenes polares e invariantes de singularidades de curvas planas

Trataremos un problema local de singularidades de curvas en un punto liso $O$ de una superficie compleja $S$, y nos interesaremos por los gérmenes en $O$ de funciones holomorfas en un entorno de $O$, que describen un anillo $\mathcal{O}$, llamado anillo local de $S$ en $O$. Tomando coordenadas locales $x$ , $y$ en $O$, se puede representar cada función holomorfa en un entorno de $O$ por una serie convergente en las variables $x$ , $y$, y esto nos da un isomorfismo entre $\mathcal{O}$ y el anillo de series de potencias convergentes en $x$ , $y$ , $\mathbb{C}\{x,y\}$. Así, la superficie $S$ es en $O$ localmente isomorfa a un plano, de hecho a $\mathbb{C}^2$ en el origen, y por este motivo hablamos de curvas planas, o de gérmenes de curvas planas, refiriéndonos a las curvas $\xi$ representadas por una equación de función holomorfa $f\in\mathbb{C}\{x,y\}$.

Entre todas las singularidades, las de curvas planas son las mejor estudiadas, y hay una teoría muy bien establecida para analizarlas y clasificarlas, debida principalmente a Noether, Zariski y Enriques. Seguiremos el enfoque geométrico de Enriques (desarrollado en Casas, “Singularities of Plane Curves”, 2000), que permite entender las singularidades de curva plana mediante los puntos infinitamente próximos por los cuales pasa. Los puntos infinitamente próximos no son puntos propiamente de $S$, sino de superficies obtenidas a partir de $S$ por operaciones de explosión, conocidas en inglés como “blow-up”. Para hacernos una idea, una explosión de $S$ en el punto $O$ es una operación “de cirugía” que substituye el punto $O$ por una recta que materializa las direcciones tangentes en $O$, y deja el resto igual. Así una curva $\xi$ en $S$ que pasa por $O$ con $e$ tangentes diferentes se corresponde en la superficie explotada con su curva transformada que tiene $e$ puntos nuevos en lugar de $O$. Los puntos de $S$, $O$ incluído, se denominan puntos propios (porque son propiamente de la superficie original $S$) para diferenciarlos de los nuevos puntos que aparecen en las operaciones de explosión, que se denominan puntos infinitamente próximos.

En la teoría de singularidades se demuestra que solamente hay un número finito de estos puntos infinitamente próximos por los cuales pasa $\xi$ y que son singulares de las transformadas de $\xi$ ; decimos que forman el cluster de puntos singulares de la curva $\xi$ . Los puntos del cluster de puntos singulares de una curva y ciertas relaciones entre ellos se pueden codificar mediante un diagrama de árbol donde la raíz representa el punto original $O$, hay un vértice por cada punto del cluster y las aristas (y la forma en que se trazan) representan estas relaciones entre los puntos que se han mencionado. Este diagrama de árbol se denomina diagrama de Enriques y tine una relevancia especial dentro de la teoría de singularidades porque clasifica topológicamente las curvas planas: si se considera los gérmenes de curva plana como gérmenes de espacios topológicos de $\mathbb{C}^2 = \mathbb{R}^4$, entonces dos gérmenes son topológicamente equivalentes (es decir, existe un homeomorfismo que transforma un representante de uno de los gérmenes en un representante del otro), si y sólo si son equisingulares, donde equisingular significa que tienen el mismo diagrama de Enriques.

Por lo que se acaba de exponer, queda claro que las clases de equivalencia topológica de curvas planas están muy bien entendidas, ya que se dispone de un objeto combinatorio, su diagrama de Enriques, que las caracteriza. Pero en el contexto en que estamos (el de curvas descritas por funciones holomorfas o analíticas), lo más natural es considerar la clasificación más fina de las curvas planas módulo isomorfismo analítico. Esta clasificación es muy complicada y todavía lejos de estar entendida actualmente. Un resultado en este sentido, debido a Mather y Yau, nos dice que el ideal jacobiano $J(\xi ) = (f,\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$, de hecho la $\mathbb{C}$-álgebra $\mathcal{O}/J(\xi )$ determina la clase de isomorfismo analítico de $\xi$ . Los elementos del ideal $J(\xi)$ son de la forma $h=u_1 f + u_2\frac{\partial f}{\partial x} + u_3\frac{\partial f}{\partial y}$, para $u_1,u_2,u_3,\in\mathbb{C}\{x,y\}$, y, si o bien $u_2$ o bien $u_3$ es invertible, se dice que $h = 0$ define una curva polar de la curva $\xi$.

Es un resultado de teoría de singularidades que “casi todas” las polares (concretamente, un abierto de Zariski del ideal jacobiano) comparten un conjunto finito de puntos infinitamente próximos, que denominamos cluster de puntos base de las curvas polares, y que incluye el cluster de puntos singulares de cada una de estas polares; las polares con esta propiedad las denominamos polares genéricas. El resultado de Mather y Yau deja claro el porqué los gérmenes polares son una de las herramientas principales para analizar singularidades de curvas planas: llevan consigo mucha información sobre la clase analítica de la singularidad. Ha habido muchos esfuerzos en la literatura (por ejemplo en trabajos de Le, Teissier, Merle y Kuo-Lu) para intentar descifrar cual de esta información es puramente topológica.

Uno de los principales problemas en esta dirección consiste en recuperar el cluster de puntos singulares de una curva, determinando así su clase topológica (o clase de equisingularidad), a partir de invariantes asociados a los gérmenes polares. Éste es el problema que trataremos en la charla: repasaremos los avances en la literatura, desde los intentos de considerar una polar genérica (trabajos de Teissier y Merle) hasta el resultado de Casas, que es el primero en encontrar el invariante apropiado, el cluster de puntos base de las polares genéricas. Mostraremos (fruto de un trabajo conjunto con Víctor González-Alonso) cómo determinar explícitamente el cluster de puntos singulares de la curva directamente a partir del cluster de puntos base de sus polares genéricas, proporcionando, en particular, una nueva demostración del resultado de Casas, que clarifica la relación entre estos dos objetos. Presentaremos nuestro resultado en forma de algoritmo, el cual se puede puede aplicar directamente al diagrama de Enriques del cluster de puntos base de las polares genéricas y determina el diagrama de Enriques del cluster de puntos singulares de la curva. Así, menos información, como es solamente la clase de equisingularidad del cluster de puntos base de las polares genéricas, basta para determinar la clase topológica de la curva.



El papel de la topología en la teoría de la decisión.

La dorada década de los cincuenta puede entenderse como el inicio de una fructífera etapa de colaboración entre matemáticas y economía. Desde entonces la teoría económica formal (economía matemática) se expresa y escribe en lenguaje matemático. Si hay que destacar alguna rama de las matemáticas que haya servido de apoyo y fuente de inspiración para la resolución de problemas que surgen en economía y en ciencias sociales ésta es la topología. En efecto, la interacción entre ambas disciplinas comienza con la contribución decisiva de la teoría del punto fijo en la resolución de uno de los paradigmas más importantes de la ciencia económica; a saber, el problema del equilibrio general, y continúa hasta la actualidad. En esta presentación desarrollaremos, hasta un cierto grado, el papel que la topología juega en una disciplina anexa a la economía, la llamada teoría de la decisión. En concreto abordaremos, por una parte, el problema de la fundamentación matemática de la teoría de la utilidad (decisión individual) y, por otra, discutiremos el modelo de agregación topológica de preferencias (decisión colectiva).



Simetrías de superficies.

El estudio de las simetrías es uno de los campos más fructíferos e importantes en matemáticas y en todas las ciencias, y también en topología. Las superficies son uno de los objetos más sencillos que se estudian en topología y sus simetrías constituyen un tema de investigación activo y con aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas. Entendemos por simetría de una superficie $S$ un homeomorfismo $f:S\to S$. Expondremos ejemplos de simetrías para introducir a este estudio y revelar su belleza y dificultades. También se presentarán algunos problemas y aplicaciones donde se investiga en la actualidad, por ejemplo el estudio de los espacios de módulos de superficies de Riemann (moduli spaces).



Tipos de homotopía de fibras de Milnor

Es bien conocido que la fibra de Milnor de una singularidad aislada de hipersuperficie es homotópico a un ramillete de esferas de la misma dimension. Además dichas fibras de Milnor comparten muchas propiedades geométricas con las variedades de Kähler, entre ellas, poseer un estructura de Hodge en su cohomología, que es pura cuando la monodromía es trivial o unipotente, y la formalidad (el tipo de homotopía racional está determinado por su anillo de cohomología). Además para singularidades aisladas es cierta una caracterizacion de la trivialidad topológica de una familia en funcion del número de esferas del ramillete. En esta charla resumiremos resultados recientes sobre el tipo de homotopía de la fibra de Milnor y su frontera para singularidades no-aisladas: daremos el primer ejemplo de fibra de Milnor simplemente conexa no formal, encontraremos una clase de singularidades cuyas fibras de Milnor son homotopicas a ramilletes de esferas de dimensiones variadas, y usaremos esta clase para dar contraejemplos a varias conjeturas de equisingularidad de Zariski y Massey. En particular construiremos una familia de hipersuperficies proyectivas irreducibles con tipo de homotopía constante y tipo topológico constante. Parte de estos resultados son en cooperación con Miguel Marco Buzunáriz.

Aspectos no conmutativos de espacios de órbitas

La geometría no conmutativa es una herramienta muy eficaz en el estudio topológico de espacios cociente.
El objetivo de esta charla es dar un repaso de las nociones y métodos básicos empleados en el acercamiento no conmutativo ("a la Connes") a los espacios de órbitas. Los ejemplos fundamentales se centrarán en los espacios de hojas de foliaciones.



Torsiones de Reidemeister

En esta charla repasaré algunos aspectos la historia de este invariante, que tiene 75 años de antigüedad. Haré énfasis en sus aplicaciones en topología tridimensional, hasta llegar a algunos resultados recientes.