Gérmenes polares e invariantes de singularidades de
curvas planas
Trataremos un problema local de singularidades de curvas en un punto liso
$O$ de una superficie
compleja $S$, y nos interesaremos por los gérmenes en $O$ de funciones holomorfas en un entorno de $O$, que
describen un anillo $\mathcal{O}$, llamado anillo local de $S$ en $O$. Tomando coordenadas locales $x$ , $y$ en $O$, se
puede representar cada función holomorfa en un entorno de $O$ por una serie convergente en
las variables $x$ , $y$, y esto nos da un isomorfismo entre $\mathcal{O}$ y el anillo de series de potencias
convergentes en $x$ , $y$ , $\mathbb{C}\{x,y\}$. Así, la superficie $S$ es en $O$ localmente isomorfa a un plano, de hecho
a $\mathbb{C}^2$ en el origen, y por este motivo hablamos de curvas planas, o de gérmenes de curvas
planas, refiriéndonos a las curvas $\xi$ representadas por una equación de función holomorfa
$f\in\mathbb{C}\{x,y\}$.
Entre todas las singularidades, las de curvas planas son las mejor estudiadas, y hay una teoría muy
bien establecida para analizarlas y clasificarlas, debida principalmente a Noether, Zariski y Enriques.
Seguiremos el enfoque geométrico de Enriques (desarrollado en Casas, “Singularities of Plane
Curves”, 2000), que permite entender las singularidades de curva plana mediante los puntos
infinitamente próximos por los cuales pasa. Los puntos infinitamente próximos no son puntos
propiamente de $S$, sino de superficies obtenidas a partir de $S$ por operaciones de explosión,
conocidas en inglés como “blow-up”. Para hacernos una idea, una explosión de $S$ en el punto $O$ es
una operación “de cirugía” que substituye el punto $O$ por una recta que materializa las
direcciones tangentes en $O$, y deja el resto igual. Así una curva $\xi$ en $S$ que pasa por $O$ con $e$
tangentes diferentes se corresponde en la superficie explotada con su curva transformada que
tiene $e$ puntos nuevos en lugar de $O$. Los puntos de $S$, $O$ incluído, se denominan puntos
propios (porque son propiamente de la superficie original $S$) para diferenciarlos de los nuevos
puntos que aparecen en las operaciones de explosión, que se denominan puntos infinitamente
próximos.
En la teoría de singularidades se demuestra que solamente hay un número finito de estos puntos
infinitamente próximos por los cuales pasa $\xi$ y que son singulares de las transformadas de $\xi$ ; decimos que
forman el cluster de puntos singulares de la curva $\xi$ . Los puntos del cluster de puntos singulares de una
curva y ciertas relaciones entre ellos se pueden codificar mediante un diagrama de árbol donde la raíz
representa el punto original $O$, hay un vértice por cada punto del cluster y las aristas (y la
forma en que se trazan) representan estas relaciones entre los puntos que se han mencionado.
Este diagrama de árbol se denomina diagrama de Enriques y tine una relevancia especial
dentro de la teoría de singularidades porque clasifica topológicamente las curvas planas: si se
considera los gérmenes de curva plana como gérmenes de espacios topológicos de
$\mathbb{C}^2 = \mathbb{R}^4$,
entonces dos gérmenes son topológicamente equivalentes (es decir, existe un homeomorfismo
que transforma un representante de uno de los gérmenes en un representante del otro), si
y sólo si son equisingulares, donde equisingular significa que tienen el mismo diagrama de
Enriques.
Por lo que se acaba de exponer, queda claro que las clases de equivalencia topológica de curvas planas
están muy bien entendidas, ya que se dispone de un objeto combinatorio, su diagrama de Enriques, que
las caracteriza. Pero en el contexto en que estamos (el de curvas descritas por funciones holomorfas o
analíticas), lo más natural es considerar la clasificación más fina de las curvas planas módulo
isomorfismo analítico. Esta clasificación es muy complicada y todavía lejos de estar entendida
actualmente. Un resultado en este sentido, debido a Mather y Yau, nos dice que el ideal jacobiano
$J(\xi ) = (f,\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$, de hecho la
$\mathbb{C}$-álgebra $\mathcal{O}/J(\xi )$ determina la clase de isomorfismo analítico de $\xi$ . Los
elementos del ideal $J(\xi)$ son de la forma
$h=u_1 f + u_2\frac{\partial f}{\partial x} + u_3\frac{\partial f}{\partial y}$, para $u_1,u_2,u_3,\in\mathbb{C}\{x,y\}$, y,
si o bien $u_2$ o bien $u_3$ es invertible, se dice que $h = 0$ define una curva polar de la curva
$\xi$.
Es un resultado de teoría de singularidades que “casi todas” las polares (concretamente, un abierto de
Zariski del ideal jacobiano) comparten un conjunto finito de puntos infinitamente próximos, que
denominamos cluster de puntos base de las curvas polares, y que incluye el cluster de puntos singulares
de cada una de estas polares; las polares con esta propiedad las denominamos polares genéricas. El
resultado de Mather y Yau deja claro el porqué los gérmenes polares son una de las herramientas
principales para analizar singularidades de curvas planas: llevan consigo mucha información sobre la clase
analítica de la singularidad. Ha habido muchos esfuerzos en la literatura (por ejemplo en trabajos de Le,
Teissier, Merle y Kuo-Lu) para intentar descifrar cual de esta información es puramente
topológica.
Uno de los principales problemas en esta dirección consiste en recuperar el cluster de puntos singulares
de una curva, determinando así su clase topológica (o clase de equisingularidad), a partir de invariantes
asociados a los gérmenes polares. Éste es el problema que trataremos en la charla: repasaremos los
avances en la literatura, desde los intentos de considerar una polar genérica (trabajos de
Teissier y Merle) hasta el resultado de Casas, que es el primero en encontrar el invariante
apropiado, el cluster de puntos base de las polares genéricas. Mostraremos (fruto de un trabajo
conjunto con Víctor González-Alonso) cómo determinar explícitamente el cluster de puntos
singulares de la curva directamente a partir del cluster de puntos base de sus polares genéricas,
proporcionando, en particular, una nueva demostración del resultado de Casas, que clarifica la
relación entre estos dos objetos. Presentaremos nuestro resultado en forma de algoritmo,
el cual se puede puede aplicar directamente al diagrama de Enriques del cluster de puntos
base de las polares genéricas y determina el diagrama de Enriques del cluster de puntos
singulares de la curva. Así, menos información, como es solamente la clase de equisingularidad del
cluster de puntos base de las polares genéricas, basta para determinar la clase topológica de la
curva.